Matura próbna Operon historia 2012: Czerwiec 2012: matura: CKE: Matura historia 2012 czerwiec: Maj 2012: Matura poziom podstawowy: Matematyka – matura poziom

^{rutra Użytkownik Posty: 131 Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy To może rzeczywiście były inaczej odpowiedzi ułożone, w każdym bądź razie nie patrząc na literki odpowiedzi w zamkniętych mam dobrze. Na próbnej w marcu miałem 64% z czego w zamkniętych 2 głupie błędy. Do tego czasu nauczyłem się (nadrobiłem braki z) stereometrii i analitycznej, zaś ostatnie zadanie było proste. Z tym tw. Tallesa to patrzyłem na karte odpowiedzi i tam były inne proporcje ułożone, mi się wydawało, że prawidłowo jest tak jak napisałem. No i zgadza się. Co do odpowiedzi to niebawem powinny się pojawić. Jak ktoś chce sprawdzić to wg tego arkusza, co ktoś link podał ja i Piog mamy takie same, dobre odpowiedzi Piog Użytkownik Posty: 54 Rejestracja: 18 mar 2012, o 13:50 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 2 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Piog » 8 maja 2012, o 14:11 rutra pisze: Co do odpowiedzi to niebawem powinny się pojawić. Jak ktoś chce sprawdzić to wg tego arkusza, co ktoś link podał ja i Piog mamy takie same, dobre odpowiedzi Niestety 2 i 6 zadanie jest źle \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ -\frac{1}{8} } = - \frac{1}{2}}\) witek1902 Użytkownik Posty: 182 Rejestracja: 15 lut 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Maków Mazowiecki Podziękował: 2 razy Pomógł: 14 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: witek1902 » 8 maja 2012, o 14:15 przemekb102, edytowałem, bo chciałem zrobić go bardziej czytelnym. Teraz odpowiedzi są na pewno takie, które ja miałem. Mam nadzieję, że wszystkie poprawne. Jeżeli chodzi o arkusz i rozmieszczenie odpowiedzi - miałem inne, więc grupy są na pewno rutra Użytkownik Posty: 131 Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: rutra » 8 maja 2012, o 14:16 Piog pisze:rutra pisze: Co do odpowiedzi to niebawem powinny się pojawić. Jak ktoś chce sprawdzić to wg tego arkusza, co ktoś link podał ja i Piog mamy takie same, dobre odpowiedzi Niestety 2 i 6 zadanie jest źle A no faktycznie , trochę inaczej jednak zrobiłem. W drugim zadaniu był wzór \(\displaystyle{ \frac{-b}{a}}\) i wyszło \(\displaystyle{ \frac{-3}{2}}\) a w szóstym \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{-3}}\) i dalej już łatwo. PS. Jednak nie jestem dobrym wzrokowcem. Ostatnio zmieniony 8 maja 2012, o 16:16 przez Chromosom, łącznie zmieniany 2 razy. Powód: Poprawa wiadomości. xorgx3 Użytkownik Posty: 66 Rejestracja: 12 maja 2011, o 13:56 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 10 razy Pomógł: 1 raz Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: xorgx3 » 8 maja 2012, o 14:17 Piog pisze:W drugim zauważyłem, że pierwiastek ma stopień nieparzysty, zatem pod pierwiastkiem może być liczba ujemna. Zgadza się? W szóstym źle użyłem wzoru Viete'a.. Ja dobrze użyłem, ale nie zerknąlem do tablic i z głowy wziąłem i mi wyszło \(\displaystyle{ -\frac34}\) zamiast \(\displaystyle{ -\frac32}\) Ostatnio zmieniony 8 maja 2012, o 16:16 przez Chromosom, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: . witek1902 Użytkownik Posty: 182 Rejestracja: 15 lut 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Maków Mazowiecki Podziękował: 2 razy Pomógł: 14 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: witek1902 » 8 maja 2012, o 14:18 Czyli Waszym zdaniem w moich odpowiedziach nie ma żadnego błędu? Vistano Użytkownik Posty: 35 Rejestracja: 6 mar 2012, o 22:21 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Vistano » 8 maja 2012, o 14:19 Z akcjami na giełdzie to było 700 ? rutra Użytkownik Posty: 131 Rejestracja: 6 wrz 2009, o 18:55 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: rutra » 8 maja 2012, o 14:19 Ja też z głowy, ale zerknąłem do tablic, a żeby się jeszcze w 100% upewnić wyprowadziłem sobie Z akcjami było łatwe 6*średnia = 3000, 3000-2300=700 o ile dobrze pamiętam takie były liczby. laser15 Użytkownik Posty: 721 Rejestracja: 13 lis 2011, o 14:58 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Kielce Podziękował: 8 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: laser15 » 8 maja 2012, o 14:20 Więc jak ? Jak myślicie możecie mi napisać?-- 8 maja 2012, o 14:25 --laser15 pisze:Witam. Jak myślicie jeżeli w zadaniu z dowodem i trójkątem napisałem k=kąt który ma być rozwarty: \(\displaystyle{ \alpha + \beta +p =180}\) i potem że \(\displaystyle{ \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \beta }{2} + K=180}\) Dostane chociaż 1 pkt? Tmkk Użytkownik Posty: 1725 Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Ostrołęka Podziękował: 59 razy Pomógł: 501 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Tmkk » 8 maja 2012, o 14:31 Zobaczcie na zadanie \(\displaystyle{ 26}\) i \(\displaystyle{ 33}\) zrobione przez "ekspertów" z interii: ... 92464,7352 Edit. \(\displaystyle{ 26}\) już poprawili a \(\displaystyle{ 33}\) usunęli, lol. Ostatnio zmieniony 8 maja 2012, o 15:01 przez Tmkk, łącznie zmieniany 1 raz. witek1902 Użytkownik Posty: 182 Rejestracja: 15 lut 2010, o 15:34 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Maków Mazowiecki Podziękował: 2 razy Pomógł: 14 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: witek1902 » 8 maja 2012, o 14:34 Piękni eksperci, nie ma co Piog Użytkownik Posty: 54 Rejestracja: 18 mar 2012, o 13:50 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 2 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Piog » 8 maja 2012, o 14:38 W 33 zrobili taki sam błąd jak ja.. jestem pewien, że połowa maturzystów tak zrobiła. snd0cff Użytkownik Posty: 199 Rejestracja: 6 gru 2009, o 18:41 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 38 razy Pomógł: 10 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: snd0cff » 8 maja 2012, o 14:39 haha, niestety takie sa konsekwencje nieczytania do konca polecenia i 2% w plecy aras014 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: aras014 » 8 maja 2012, o 14:42 Czy w zadaniu o pociągach przy rozwiązywaniu układu równań trzeba było używać jednostek? Bo napisałem: \(\displaystyle{ (V+24)(t-1)=210}\), i się zastanawiam czy nie powinno być: \(\displaystyle{ (V+24km\backslash h)(t-1h)=210km}\) Ostatnio zmieniony 8 maja 2012, o 17:18 przez aras014, łącznie zmieniany 2 razy. MagusDrDee Użytkownik Posty: 18 Rejestracja: 28 lis 2011, o 15:47 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Polska Podziękował: 3 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: MagusDrDee » 8 maja 2012, o 14:42 Piog pisze:W 33 zrobili taki sam błąd jak ja.. jestem pewien, że połowa maturzystów tak zrobiła. Ja też tak zrobiłem, ale potem na szczęście zauważyłem Może ktoś skomentować mój dowód? MagusDrDee pisze:Czy to jest dobrze? Zadanie z dwusiecznymi Rozpatruję przypadek, że trójkąt jest rozwartokątny. Punkt przecięcia dwusiecznych jest środkiem okręgu wpisanego, więc kąt \(\displaystyle{ APB}\) jest kątem środkowym. Przyjmijmy, że kąt \(\displaystyle{ APB= \alpha}\). Kąt wpisany w okrąg oparty na tym samym łuku ma miarę \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \alpha}\). Trójkąt wpisany w okrąg jest ostrokątny, gdyż każdy z kątów oparty jest na łuku, który jest mniejszy niż łuk stanowiący połowę okręgu. Zatem mały trójkąt, którego dwa wierzchołki należą do okręgu, a jeden wierzchołek jest środkiem okręgu (kąt przy tym wierzchołku ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\)), ma dwa kąty o miarach mniejszych niż \(\displaystyle{ 45}\) stopni. Zatem \(\displaystyle{ \alpha > 90}\) stopni.}

Matura próbna: Operon Przedmiot: matematyka Poziom: podstawowy Rok: 2012 Arkusz PDF i odpowiedzi do pobrania: Ten arkusz możesz także wykonać Zobacz arkusz 8 maja 2018

Matura - arkusze maturalne pytania i odpowiedzi Przedmiot: Matematykapolecamy także: • Opis matury z matematyki • Testy z matematyki na podstawie matury • Zadania maturalne z matematyki ze wskazówkamiTermin: Rok 2012 maj - matura, główny terminPoziom: podstawowy» Galeria pytania, matematyka, poziom podstawowy, matura 2012 - pobierz w .pdfodpowiedzi, matematyka, poziom podstawowy, matura 2012 - pobierz w .pdfLink do testu online: Test z matematyki (online), matura 2012, maj - poziom podstawowy Udostępnij « powrót Rekrutacja na studia wg maturymatematyka (pp) wystarczy Znajdź kierunki studiów, w których w rekrutacji na studia mogą wystarczyć zdobyte punkty z egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym matematyka (pp) jest uwzględniana Znajdź kierunki studiów, w których zdana na maturze matematyka na poziomie podstawowym jest uwzględniana przy rekrutacji na studia matematyka (pr) jest uwzględniana Znajdź kierunki studiów, w których zdana na maturze matematyka na poziomie rozszerzonym jest uwzględniana przy rekrutacji na studiaRekrutacja na studia wg przedmiotów zdawanych na maturzeWyszukaj kierunki studiów i uczelnie, w których brany jest pod uwagę tylko 1 przedmiot zdawany na maturze na poziomie podstawowym (często uczelnie dają do wyboru kilka przedmiotów a wybieramy z nich jeden):Przykłady:kierunki studiów po maturze z polskiegokierunki studiów po maturze z matematykikierunki studiów po maturze z angielskiegokierunki studiów po maturze z francuskiegokierunki studiów po maturze z hiszpańskiegokierunki studiów po maturze z niemieckiegokierunki studiów po maturze z rosyjskiegokierunki studiów po maturze z włoskiegokierunki studiów po maturze z biologiikierunki studiów po maturze z chemiikierunki studiów po maturze z filozofiikierunki studiów po maturze z fizykikierunki studiów po maturze z geografiikierunki studiów po maturze z historiikierunki studiów po maturze z historii muzykikierunki studiów po maturze z historii sztukikierunki studiów po maturze z informatykikierunki studiów po maturze z WOSPoniżej podajemy wybrane linki do kierunki studiów na uczelniach, w których są brane pod uwagę wyniki tylko z dwóch przedmiotów zdawanych na maturze na poziomie podstawowym (często uczelnie dają wyboru więcej przedmiotów a wybieramy z nich dwa): Przykłady:kierunki po maturze z polskiego i matematykikierunki po maturze z polskiego i angielskiegokierunki po maturze z polskiego i historiikierunki po maturze z polskiego i wiedzy o społeczeństwiekierunki po maturze z matematyki i angielskiegokierunki po maturze z matematyki i fizykikierunki po maturze z matematyki i chemiikierunki po maturze z matematyki i informatykikierunki po maturze z biologii i chemiikierunki po maturze z biologii i angielskiego kierunki po maturze z chemii i angielskiegokierunki po maturze z biologii i geografiikierunki po maturze z chemii i geografii

^{Tuż po zakończeniu matury 2012 z matematyki - poziom podstawowy na naszym portalu zamieścimy arkusz testu CKE oraz klucz odpowiedzi. Znajdziecie je w tym artykule: Matura 2012 z matematyki.}

Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 1. (0-1) Poprawna odpowiedź (1 p.) Wersja Wersja arkusza arkusza A B Obszar standardów Opis wymagań Modelowanie matematyczne Wykonanie obliczeń procentowych ( A D Zadanie 2. (0-1) Wykorzystanie Zastosowanie praw działań na potęgach i interpretowanie reprezentacji o wykładnikach wymiernych, obliczenie potęgi o wykładniku wymiernym ( Zadanie 3. (0-1) Wykonanie obliczeń na liczbach Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji rzeczywistych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia ( Zadanie 4. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie wartości logarytmu ( i interpretowanie reprezentacji Zadanie 5. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia wartości i interpretowanie reprezentacji bezwzględnej do rozwiązania równania typu x ? a ? b ( Zadanie 6. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie sumy rozwiązań równania i interpretowanie reprezentacji kwadratowego ( Zadanie 7. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 8. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie interpretacji i interpretowanie reprezentacji współczynników we wzorze funkcji liniowej ( A D Odczytanie z postaci iloczynowej funkcji kwadratowej jej miejsc zerowych ( A B C B B A B C A A B C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 3 Zadanie 9. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 10. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 11. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie definicji do wyznaczenia i interpretowanie reprezentacji wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego ( Zadanie 12. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 13. (0-1) Wykorzystanie Znalezienie związków miarowych i interpretowanie reprezentacji w figurach płaskich. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa ( Zadanie 14. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Posłużenie się własnościami figur podobnych do obliczania długości odcinków ( D C D A B C B A Planowanie i wykonanie obliczeń na liczbach rzeczywistych ( D B Odczytanie z wykresu funkcji jej miejsc zerowych ( C D Zadanie 15. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie związku między i interpretowanie reprezentacji promieniem koła opisanego na kwadracie i długością jego boku ( Zadanie 16. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Wykorzystanie związków między kątem wpisanym i środkowym do obliczenia miary kąta ( C B B C 4 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadanie 17. (0-1) Modelowanie matematyczne Obliczenie wyrazów ciągu arytmetycznego ( C B Zadanie 18. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 19. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie objętości sześcianu i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem związków miarowych w sześcianie ( Zadanie 20. (0-1) Wykorzystanie Wyznaczenie wysokości stożka i interpretowanie reprezentacji z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych lub własności kwadratu ( Zadanie 21. (0-1) Wykorzystanie i interpretowanie informacji Zadanie 22. (0-1) Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia układu i interpretowanie reprezentacji współrzędnych na płaszczyźnie ( Zadanie 23. (0-1) Wykorzystanie Zbadanie czy dany punkt spełnia i interpretowanie reprezentacji równanie okręgu ( Zadanie 24. (0-1) Wykorzystanie Zliczenie obiektów w prostych sytuacjach i interpretowanie reprezentacji kombinatorycznych, stosowanie zasady mnożenia ( Zadanie 25. (0-1) Wykorzystanie Obliczenie średniej arytmetycznej i interpretowanie reprezentacji i interpretowanie tego parametru w kontekście praktycznym ( D A C B B D A D Wskazanie równania prostej równoległej do danej ( A B B C Obliczenie wyrazu ciągu określonego wzorem ogólnym ( B D A C Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 5 Zadanie 26. (0-2) Wykorzystanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej ( i interpretowanie reprezentacji Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt gdy: ? prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 ? ?5, x2 ? ?3 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? rozłoży trójmian kwadratowy x 2 ? 8 x ? 15 na czynniki liniowe i zapisze nierówność ? x ? 3?? x ? 5? ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np. x1 ? 3, x2 ? 5, x ? ? ??,3? ? ? 5, ? ? albo 2 ? doprowadzi nierówność do postaci x ? 4 ? 1 (na przykład z postaci ? x ? 4 ? ? 1 ? 0 otrzymuje ? x ? 4 ? ? 1 , a następnie x ? 4 ? 1 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 2 Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt gdy poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci: ? ? ??, ?5 ? ? ? ?3, ? ? albo ? x ? ?5 lub x ? ?3 albo ? x ? ?5, x ? ?3 albo ? w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. 1. Jeśli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 ? ?5, x2 ? ?3 i zapisze, np. x ? ? ??, ?5 ? ? ? 3, ? ? popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty. 2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci ? ??, ?3? ? ? ?5, ? ? , to przyznajemy 2 punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki 6 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 27. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej ( I sposób rozwiązania Aby wykazać prawdziwość podanej nierówności, przekształcimy ją najpierw do prostszej postaci równoważnej. Rozpoczynamy od podanej nierówności: a?b?c a?b ? 3 2 Mnożymy obie strony tej nierówności przez 6: 2 ? a ? b ? c? ? 3? a ? b? 2c ? a ? b Uzyskana nierówność jest równoważna nierówności wyjściowej, zatem wystarczy wykazać jej prawdziwość. Z założenia wiemy, że c ? a oraz c ? b . Wobec tego 2c ? c ? c ? a ? b Co należało wykazać. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli przekształci podaną nierówność do postaci 2c ? a ? b lub ? c ? a ? ? ? c ? b ? ? 0 , Redukujemy wyrazy podobne: ?a ? b ? 2c ? 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. 6 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli przedstawi kompletny dowód podanej nierówności. lub II sposób rozwiązania Zdający prowadzi ciąg nierówności, wychodząc od jednej ze stron podanej nierówności i na końcu dochodząc do drugiej. Założenie: 0 ? a ? b ? c a?b?c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 a?b ? a? b? c ? a? b? b ? a? b ? a? b? b ? a? a? b ? a? b ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 3 6 2 2 2 2 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt jeśli co najmniej jedna z nierówności występująca w zapisanym ciągu nierówności wynika w sposób poprawny z podanych założeń, ale zdający nie podaje kompletnego dowodu wyjściowej nierówności. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt jeśli poda kompletny dowód podanej nierówności. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 7 Zadanie 28. (0-2) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki ( Uwaga Gdy zdający poda poprawną odpowiedź (trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 ) nie wykonując żadnych obliczeń, to otrzymuje 1 punkt. I sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? , gdzie a oznacza trzeci pierwiastek wielomianu. Stąd W ( x) ? x3 ? x 2 ? ax 2 ? 12 x ? ax ? 12a = x3 ? ?1 ? a ? x 2 ? ? ?12 ? a ? x ? 12a , Porównując współczynniki wielomianu W ( x) otrzymujemy ?1 ? a ? 4 ? ??12 ? a ? ?9 ?12a ? ?36 ? Stąd a ? ?3 . Trzecim pierwiastkiem wielomianu W ( x) jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian W ( x) w postaci W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? a ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . II sposób rozwiązania Przedstawiamy wielomian W ( x) w postaci iloczynu: W ( x) ? x3 ? 4 x 2 ? 9 x ? 36 ? x 2 ? x ? 4 ? ? 9 ? x ? 4 ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . Pierwiastkami wielomianu W ? x ? są zatem x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy przedstawi wielomian w postaci iloczynu, np.: W ( x) ? ? x 2 ? 9 ? ? x ? 4 ? lub W ( x) ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? x ? 12 ? ? x ? 3? lub W ( x) ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . 8 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy III sposób rozwiązania Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 4? Liczba ? 4 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 4 ? . Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez dwumian ? x ? 3? . Dzielimy wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? 3? x2 ? 7 x ? 12 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 3? ? x3 ? 3x 2 7 x2 ? 9 x ?7 x2 ? 21x 12 x ? 36 ?12 x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci x2 ?9 ? x3 ? 4x2 ? 9x ? 36? : ? x ? 4? ?x3 ? 4x2 ? 9x ? 36 9x ? 36 ? ? Wielomian W ? x ? zapisujemy w postaci W ? x ? ? ? x ? 4? ? x ? 9? , 2 stąd W ? x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 3?? x ? 3? . W ? x ? ? ? x 2 ? 7 x ? 12 ? ? x ? 3? . Wyznaczamy pierwiastki trójmianu x 2 ? 7 x ? 12 : x ? ? 4 i x ? ?3 . Liczby 3 i ?4 są pierwiastkami wielomianu W ? x ? , więc wielomian W ? x ? jest podzielny przez ? x ? 3?? x ? 4 ? = x 2 ? x ? 12 . Dzielimy wielomian W ? x ? przez ? ? ?x 2 ? x ? 12 ? x ?3 ? x3 ? 4 x2 ? 9 x ? 36? : ? x2 ? x ? 12? x3 ? x 2 ? 12 x 3x 2 ? 3x ? 36 ?3x 2 ? 3x ? 36 ? ? ? Zatem W ? x? ? ? x2 ? x ?12? ? x ? 3? ? ? x ? 3?? x ? 4?? x ? 3? . Zatem pierwiastkami wielomianu są: x1 ? ? 4 , x2 ? 3 oraz x3 ? ?3 . Odpowiedź: Trzecim pierwiastkiem wielomianu jest liczba x ? ?3 . Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 9 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 4 ? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 9 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez dwumian ? x ? 3? , otrzyma iloraz ? x 2 ? 7 x ? 12 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo poprzestanie lub dalej popełnia błędy albo ? wykona dzielenie wielomianu przez ? wykona dzielenie wielomianu przez x 2 ? x ? 12 , otrzyma iloraz ? ? ? x ? 3? i na tym ? x ? 4? lub ? x ? 3? , lub przez ?x 2 ? x ? 12 ? popełniając błąd rachunkowy i konsekwentnie do popełnionego błędu wyznacza pierwiastki otrzymanego ilorazu. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy bezbłędnie obliczy trzeci pierwiastek wielomianu: x ? ?3 . Uwaga Dzieląc wielomian W ? x ? przez dwumian ? x ? p? 4 0 zdający może posłużyć się schematem -9 -9 - 36 0 Hornera, np. przy dzieleniu przez ? x ? 4 ? otrzymuje -4 1 1 IV sposób rozwiązania Korzystamy z jednego ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i otrzymujemy ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? ? 36 , stąd x3 ? ?3 1 lub ?? 4? ? 3 ? x3 ? ? 4 , stąd x3 ? ?3 , 1 lub ?? 4? ? 3 ? ?? 4? ? x3 ? 3 ? x3 ? ? 9 . 1 Proste sprawdzenie pokazuje, że rzeczywiście W ?? 3? ? 0 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy poprawnie zastosuje jeden ze wzorów Vi?te'a dla wielomianu stopnia trzeciego i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie obliczy trzeci pierwiastek: x ? ?3 . 10 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Zadania 29. (0-2) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie własności symetralnej odcinka do wyznaczenia jej równania ( I sposób rozwiązania Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej AB: 10 ? 2 ? 2 . 2 ? ? ?2 ? Zatem współczynnik ? 1? kierunkowy prostej prostopadłej do prostej AB jest równy ? ? ? . Symetralna odcinka AB ? 2? 1 ? ?2 ? 2 2 ? 10 ? ma równanie y ? ? x ? b . Punkt S ? ? , ? ? ? 0, 6 ? jest środkiem odcinka AB . 2 ? 2 ? 2 1 Symetralna tego odcinka przechodzi przez punkt S, więc 6 ? ? ? 0 ? b . Stąd b ? 6 , a więc 2 1 symetralna odcinka AB ma równanie y ? ? x ? 6 . 2 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ? gdy poprawnie wyznaczy lub poda współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? oraz współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy albo ? gdy popełni błędy rachunkowe przy wyznaczaniu współrzędnych środka odcinka albo współczynnika kierunkowego prostej AB i konsekwentnie wyznaczy równanie symetralnej albo ? gdy obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a ? 2 oraz współczynnik 1 kierunkowy prostej do niej prostopadłej a1 ? ? i na tym zakończy lub dalej 2 popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: y ? ? x ? 6 lub x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 II sposób rozwiązania Obliczamy współrzędne środka odcinka AB: S ? ?0,6 ? . Obliczamy współrzędne wektora ??? ? AB ? ?4,8? . Ponieważ symetralna odcinka AB jest prostopadła do wektora AB i przechodzi przez punkt S, więc jej równanie ma postać 4 ? x ? 0 ? ? 8 ? y ? 6 ? ? 0 , czyli x ? 2 y ? 12 ? 0 . Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy wyznaczy współrzędne wektora AB : AB ? ?4,8? oraz środek odcinka AB: S ? ?0,6 ? i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 11 Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy poprawnie wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub 1 y ? ? x?6. 2 III sposób rozwiązania Z rysunku w układzie współrzędnych y 11 10 9 8 7 6 5 4 y=2x+6 B S A 3 2 1 x 1 2 3 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 odczytujemy współrzędne punktu S ? ?0,6 ? , współczynnik kierunkowy symetralnej odcinka 1 1 AB: a ? ? i zapisujemy równanie symetralnej odcinka AB : y ? ? x ? 6 . 2 2 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy odczyta, z dokładnie sporządzonego rysunku w układzie współrzędnych, współrzędne środka odcinka AB i współczynnik kierunkowy symetralnej prostej AB i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy zapisze równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 IV sposób rozwiązania Korzystamy z tego, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo oddalonych od jego końców. Jeśli punkt P ? ? x, y ? leży na symetralnej, to AP ? BP . Zatem ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ?10? , czyli ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? . Po uporządkowaniu równania i redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy x ? 2 y ? 12 ? 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt ?x ? 2? ? ? y ? 2? ? ?x ? 2? ? ? y ? 10? i na tym poprzestanie lub gdy zapisze równanie dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 1 gdy wyznaczy równanie symetralnej odcinka AB: x ? 2 y ? 12 ? 0 lub y ? ? x ? 6 . 2 2 2 2 2 12 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeśli zdający przepisze z błędem współrzędne punktów i wyznaczy konsekwentnie równanie symetralnej odcinka AB, to za takie rozwiązanie przyznajemy 2 punkty. Zadanie 30. (0-2) Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego ( I sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? A ? ? ? ? B Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie równa jest 180? , więc w trójkącie ABC mamy 2? ? 2 ? ? ? ? 180? . Ponieważ ? ? 0? , więc 2? ? 2? ? 180? , stąd ? ? ? ? 90? . W trójkącie ABP mamy ? ? ? ? ? ? 180? . Stąd i z otrzymanej nierówności ? ? ? ? 90? wynika, że ? ? 90? . Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest kątem rozwartym. II sposób rozwiązania Niech ?BAC ? 2? , ?ABC ? 2 ? , ?ACB ? ? , ?APB ? ? . C ? P ? ? A ? ? ? ? B Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 13 Ponieważ ? ? ? ? 180? oraz suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie ABP jest równa 180? , więc otrzymujemy 1 1 1 ? ? 180? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ? 2? ? ? ?2? ? 2? ? ? ? ? ? 180? ? 90? . 2 2 2 ? Ponieważ ? ? 90 , więc ? jest kątem ostrym, zatem ? jest kątem rozwartym. Oznacza to, że kąt APB jest kątem rozwartym. Co należało uzasadnić. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie i uzasadni, że kąt APB jest rozwarty. Zadanie 31. (0-2) Modelowanie matematyczne Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia z zastosowaniem klasycznej definicji prawdopodobieństwa ( I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary uporządkowane ? x, y ? dwóch liczb ze zbioru ?1, 2,3, 4,5, 6, 7? . Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa ? ? 7 ? 7 ? 49 . Iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6, gdy: ? jedna z tych liczb jest równa 6 (wówczas druga jest dowolna) albo ? jedną z liczb jest 3, a drugą jest 2 lub 4. Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa A ? ? 2 ? 7 ? 1? ? 2 ? 2 ? 17 . Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe: P ? A ? ? II sposób rozwiązania (metoda tabeli) 6 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5 17 . 49 1 2 3 4 5 6 7 Symbole w tabeli oznaczają odpowiednio: ? - zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu A 17 . ? ? 7 ? 7 ? 49 i A ? 17 , zatem P ? A ? ? 49 14 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy ? obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: ? ? 7 2 ? 49 albo ? obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A : A ? 17 . Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. III sposób rozwiązania (metoda drzewa) Drzewo z istotnymi gałęziami: 1 7 2 7 1 7 3 7 6 7 7 Dowolna z siedmiu 2, 4 2 7 3 7 3 1, 5, 7 1 7 3, 6 2, 4, 6 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia A (iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 6) 1 7 2 2 1 3 3 1 17 jest więc równe: P ? A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 7 7 7 7 7 7 7 7 49 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 1 pkt gdy: ? narysuje pełne drzewo i przynajmniej na jednej gałęzi opisze prawdopodobieństwo albo ? narysuje drzewo tylko z istotnymi gałęziami. Zdający otrzymuje ............................................................................................................ 2 pkt 17 . gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: P ( A) ? 49 Uwaga Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P ( A) ? 1 , to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Jeżeli zdający poprawnie obliczy prawdopodobieństwo i błędnie skróci ułamek, 17 1 ? , to otrzymuje 2 punkty. np. P ( A) ? 49 3 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 15 Zadanie 32. (0-4) Modelowanie matematyczne Zastosowanie własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego ( I sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, więc wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich: x ? 9 ? 19 ? 14 . 2 42 ? 3. 14 Wiemy, że ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem jego iloraz jest równy q ? Wobec tego y ? 3 ? 42 ? 126 i z ? 126 ? 3 ? 378 . Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego q ? 3 . Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . II sposób rozwiązania Ciąg ? 9, x,19 ? jest arytmetyczny, zatem 2 x ? 9 ? 19 , x ? 14 . Ciąg ?14, 42, y, z ? jest geometryczny, zatem 422 ? 14 ? y i y 2 ? 42 ? z , y? 1764 ? 126 i 1262 ? 42 ? z , stąd z ? 378 . 14 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania .......................................................................................................... 1 pkt 9 ? 19 lub ? wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego i zapisanie, np. x ? 2 2 x ? 9 ? 19 , lub x ? 14 albo ? wykorzystanie własności ciągu geometrycznego i zapisanie, np. 42 2 ? xy lub y 2 ? 42 z . Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ..................................................................... 2 pkt Obliczenie x ? 14 i zapisanie równania 422 ? 14 y lub 1764 ? 14 y . Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................... 3 pkt Obliczenie y ? 126 i zapisanie równania y 2 ? 42 z lub 1262 ? 42z . 16 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Rozwiązanie pełne .............................................................................................................. 4 pkt Obliczenie x ? 14 , y ? 126 , z ? 378 . Uwaga Jeśli zdający pomyli własności ciągów, to za całe zadanie otrzymuje 0 punktów. Zadanie 33. (0-4) Użycie i tworzenie strategii Obliczenie objętości wielościanu ( Strategia rozwiązania tego zadania sprowadza się do realizacji następujących etapów: a) obliczenie wysokości AE ostrosłupa, b) obliczenie pola podstawy tego ostrosłupa, c) obliczenie objętości ostrosłupa. Rozwiązanie a) Obliczenie pola podstawy ostrosłupa Podstawa ABCD ostrosłupa jest kwadratem o boku AB. Stosując wzór na przekątną kwadratu, 4 mamy: 4 ? AB 2 , stąd AB ? ?2 2. 2 Obliczamy pole P podstawy ostrosłupa: P ? 2 2 ? ? 2 ? 8 . b) Obliczenie wysokości AE ostrosłupa Rysujemy trójkąt EAC. 8 3 ?4 3. 2 c) Obliczenie objętości ostrosłupa AE ? 1 32 3. Objętość ostrosłupa jest równa V ? ? 8 ? 4 3 ? 3 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt Obliczenie wysokości AE ostrosłupa: AE ? 4 3 albo obliczenie pola P podstawy ostrosłupa: P? 2 2 ? ? 2 ?8. Pokonanie zasadniczych trudności zadania..................................................................... 3 pkt Obliczenie pola podstawy i wysokości ostrosłupa. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 17 Uwaga Jeśli zdający obliczy jedną z tych wielkości z błędem rachunkowym, to otrzymuje 2 punkty. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................. 4 pkt 32 Obliczenie objętości ostrosłupa: V ? 3. 3 Uwaga 1 we wzorze na objętość ostrosłupa, ale rozwiązanie 3 doprowadzi konsekwentnie do końca z tym jednym błędem, to za takie rozwiązanie otrzymuje 3 punkty. Jeśli zdający pominie współczynnik Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Nie obniżamy punktacji zadania za błędy nieuwagi, np. gdy zdający poprawnie obliczył wysokość ostrosłupa, ale przy obliczaniu objętości ostrosłupa podstawił błędna wartość. Zadanie 34. (0-5) Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego ( I sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 ? ? ? t ? 210 210 ? 24t ? ? 24 ? 210 t 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 . Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. 18 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy II sposób rozwiązania Zapisujemy zależność między czasem a prędkością w sytuacji opisanej w zadaniu dla pociągu pospiesznego: ? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ?t ? v ? 210 ? Następnie zapisujemy układ równań ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ? Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.: ? 210 ? ? 1? ? ?v ? 24 ? ? 210 ? ? v ? 5040 210 ? ? v ? 24 ? 210 v 5040 ? v ? 24 ? 0 v ?v 2 ? 24v ? 5040 ? 0 ? ? 576 ? 20160 ? 1442 24 ? 144 24 ? 144 ? ?84 , v1 ? ? 60 , v2 ? ?2 ?2 v2 jest sprzeczne z warunkami zadania. 210 210 7 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg osobowy: t ? ? ? ? 3,5 . v 60 2 Obliczamy czas przejazdu tej drogi przez pociąg pospieszny: 3,5 - 1 = 2,5. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. III sposób rozwiązania Przyjmujemy oznaczenia np.: t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, v - średnia prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę. v+24 v t?1 t Narysowane duże prostokąty reprezentują odległości przebyte przez obydwa pociągi, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 24 ? t ? 1? ? 1 ? v . Droga przebyta przez pociąg osobowy wyraża się wzorem v ? t ? 24 ? t ? 1? ? t . Ponieważ trasa pociągu ma długość 210 km, otrzymujemy równanie 24 ? t ? 1? ? t ? 210 . Stąd 24t 2 ? 24t ? 210 ? 0 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 ? ? 16 ? 560 ? 242 4 ? 24 5 4 ? 24 7 t1 ? ?? , t2 ? ? ? 3,5 8 2 8 2 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy 19 t1 jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem pociąg osobowy jechał przez 3,5 godziny, a pociąg pospieszny: 3,5 ? 1 ? 2,5 godziny. Odp. Czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny jest równy 2,5 godziny. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Zapisanie równania z dwiema niewiadomymi ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy, a v średnią prędkość pociągu osobowego w kilometrach na godzinę, lub ? t ? 1?? v ? 24 ? ? 210 gdy t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg pospieszny, a v średnią prędkość pociągu pospiesznego w kilometrach na godzinę. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: ?t ? v ? 210 ?t ? v ? 210 ? lub ? ? ?? t ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 ??t ? 1? ? ?v ? 24? ? 210 ? Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.: ?t ? 1? ? ? 210 ? 24 ? ? 210 lub ? 210 ? 1? ? ? v ? 24 ? ? 210 lub 24 ? t ? 1? ? t ? 210 ? ? ? ? ? v ? ? t ? Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki .................................................................... 2 pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ...................................................... 4 pkt ? rozwiązanie równania z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie czasu pokonania drogi przez pociąg pospieszny albo ? obliczenie czasu jazdy pociągu osobowego: t ? 3,5 i nie obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny. Rozwiązanie pełne ........................................................................................................... 5 pkt Obliczenie czasu pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny: 2,5 godziny. Uwagi 1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający odgadnie czas jazdy pociągu pospiesznego i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt. 20 Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 v ? 24 ? t ?1 ?210 ? v ? t ? ? ?210 ? ? v ? 24 ? t ? 1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 210 ujął wyrażenia t ? 1 w nawias. Zapis równania v ? 24 ? wskazuje na poprawną t ?1 interpretację zależności między wielkościami. Przykład 2. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość pociągu osobowego, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pociąg osobowy 210 ? v? 210 ? 120 210 ? t v ? 24 ? ? 24 ? ? 210 t ?1 ? t t? v ? 24 ? ? t ?1 ? i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 120 210 ? 24 ? zdający trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu t t? przestawił cyfry w zapisie liczby 210 i pominął liczbę 1 w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 zamiast równania 4t 2 ? 4t ? 35 ? 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realnym czasem jazdy pociągu pospiesznego, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów. Komisje Egzaminacyjne - dane teleadresowe Centralna Komisja Egzaminacyjna kod: 00-190miejscowość: Warszawaadres: ul. Józefa Lewartowskiego 6kontakt tel.: (22) 53-66-500fax: (22) 53-66-504e-mail: ckesekr@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Gdańsku kod: 80-874miejscowość: Gdańskadres: ul. Na Stoku 49kontakt tel.: (58) 32-05-590fax: (58) 32-05-591e-mail: komisja@ pracy: - 191687916NIP: 583-26-08-016 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Jaworznie kod: 43-600miejscowość: Jaworznoadres: ul. Mickiewicza 4kontakt tel.: (32) 78-41-601fax: (32) 78-41-608e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Krakowie kod: 31-978miejscowość: Krakówadres: os. Szkolne 37kontakt tel.: (12) 68-32-101fax: (12) 68-32-100e-mail: oke@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łodzi kod: 94-203miejscowość: Łódźadres: ul. Praussa 4kontakt tel.: (42) 63-49-133fax: (42) 63-49-154e-mail: komisja@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Łomży kod: 18-400miejscowość: Łomżaadres: ul. Nowa 2kontakt tel.: (86) 21-64-495fax: (86) 473-71-20e-mail: sekretariat@ pracy: 8 - 16 Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu kod: 61-655miejscowość: Poznańadres: ul. Gronowa 22kontakt tel.: (61) 85-40-160fax: (61) 85-21-441e-mail: sekretariat@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Warszawie kod: 00-844miejscowość: Warszawaadres: ul. Grzybowska 77kontakt tel.: (22) 45-70-335fax: (22) 45-70-345e-mail: info@ Okręgowa Komisja Egzaminacyjna we Wrocławiu kod: 53-533miejscowość: Wrocławadres: ul. Zielińskiego 57kontakt tel.: (71) 78-51-894fax: (71) 78 -51-866e-mail: sekretariat@ pracy: 8-16REGON: 931982940NIP: 895-16-60-154

Matura z matematyki. Ile trwał egzamin z poziomu podstawowego? Czy uczniowie mogli korzystać z kalkulatora? Matura 2022: matematyka poziom podstawowy. Chcesz sprawdzić jak ci poszło? A może przekonać się, czy zdałbyś maturę z matematyki w 2022 roku? Sprawdź ; Kiedy reszta egzaminów maturalnych? Zobacz cały harmonogram

miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy @miodzio1988, nie narzekam na trzeci przedmiot, tylko na matematykę. I dla Twojej wiadomości tylko z matmy miałem dopy zawsze. I powtarzam, że nie wiem ile punktów za ustną i jak to jest liczone. ehem...Nie rozumiem co w tym fajnego, ale do rzeczy: z każdego innego przedmiotu mam dobre oceny, nawet z fizyki i chemii jakoś mi szło (tutaj akurat lenistwo, że mam dopy, ale rozumieć rozumiałem), I po co kłamać?Jedna pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. hahahahh świetna robota ... Co myślicie o tych zadaniach? smigol Użytkownik Posty: 3454 Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 89 razy Pomógł: 353 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: smigol » 21 sie 2012, o 13:44 Bardzo trudne zadania. Dla kogoś takiego jak Ty miodzio są pewnie proste. No, ale mi rodzice nie kazali liczyć delty w trakcie jedzenia obiadu. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 21 sie 2012, o 13:50 Masakra! Tak trudnej matury nie widziałem od wieków! Ale moment, moment... Ja nie lubię języka polskiego, a kurcze, musiałem go zdawać? Zacytuję moje słowa, bo widać, że o nich zapomniał: kamil13151 pisze:Grzechu_, Przestań już trollować. Wcale żadne pieniądze nie są potrzebne. Te forum stało się dla mnie korepetytorem. Przestań szukać przyczyn swojego nie zdania, bo to jest oczywiste, że to TY jesteś temu winien i nikt inny, ani nic. Jesteś po prostu totalnym LENIEM! Matura nie jest obowiązkowa. MadJack Użytkownik Posty: 270 Rejestracja: 21 lis 2010, o 22:23 Płeć: Mężczyzna Podziękował: 5 razy Pomógł: 35 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: MadJack » 21 sie 2012, o 14:21 miodzio1988 pisze:A wiesz bejbe ile jest liczb całkowitych? Ależ ja wyraźnie słyszałem, że jest ich przeliczalnie wiele! Czyli logiczne, że da się je wszystkie przeliczyć, lol. Także nie martw się Grzechu_ i miodzia nie słuchaj. Twoje metody rozwiązywania zadań są logiczne i tylko przez nielogiczność matematyki jeszcze matury nie zdałeś. smigol pisze:ps. 2 poza tym na zdolności matematyczne decyduje płeć matki, a to nie moja wina, że mama ma płeć jaką ma. Jak dla mnie najlepszy tekst w tym temacie :> kamil13151, mi też się wydaje, że jest ona jeszcze prostsza niż w maju. Nie sądziłem, że to możliwe, a jednak miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 21 sie 2012, o 14:23 Jednak pracuje w salonie pewnej znanej firmy telefonii komórkowej. Ja myślałem, że ten najlepszy W ogóle jakie dyskusje są fajne w necie na temat tego ostatniego zadania Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:22 Ja mam pytanie z jakich "znanych" na podstawie programowej własności i twierdzeń należało skorzystać aby rozwiązać zadanie dotyczące stosunku długości promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny do długości boku trójkąta? miodzio1988 Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: miodzio1988 » 22 sie 2012, o 00:24 rozwiązaniach gotowych w necie nie ma? W tych gotowych korzystali z czegoś bardzo trudnego? Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 00:37 Niczego bardzo trudnego nie było ale choćby wzór na długość promienia okręgu wpisanego w wymieniony w zadaniu trójkąt oczywistym chyba nie był. Zastanawiam się czy można było to zadanie w jakiś prosty sposób obliczyć - w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:03 ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. Tak, tak... ściemniaj dalej. Christofanow Użytkownik Posty: 174 Rejestracja: 30 sie 2010, o 12:39 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: ffff Podziękował: 12 razy Pomógł: 2 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Christofanow » 22 sie 2012, o 09:25 Ja rozumiem, że treści o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego ale nie zarzucaj mi kłamstwa. Zachęcam do zapoznania się z podręcznikami do liceum, zakres podstawowy, Matematyka z plusem, GWO - nie musisz tego robić, jednak wówczas nie masz żadnych podstaw aby zdanie: w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. uważać za niezgodne z prawdą (tj. stanem faktycznym). kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 09:55 w podręcznikach do PP nie widziałem twierdzenia o dwusiecznych kąta. To jest prawdą, w książkach do rozszerzenia nawet tego nie spotkałem, jednak ta własność jest nam nie potrzebna. Ja Ci zarzuciłem kłamstwo czego innego: Jest wzór na wysokość i można się zorientować, że środek takiego okręgu jest w \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) ale pewności bym nie miał bo takich informacji na PP nie spotkałem. To jest jak najbardziej podstawowy fakt i mogę się założyć, że w zeszycie (jeżeli taki prowadziłeś) są zadania z wykorzystaniem tej o dużej sile wyrazu dobrze nadają się do onanizacji własnego ego To nie jest kółko poetyckie. Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:10 Witam. Bardzo Proszę o odpowiedź. W zadaniu 28 na poprawce wczorajszej z matematyki obliczyłem sumę początkowych sześciu ciągów i wyszedł mi wynik \(\displaystyle{ 78}\), lecz nie zrobiłem tego według określonego wzoru tylko na logikę pomyślałem że \(\displaystyle{ r}\) będzie wynosić \(\displaystyle{ 4}\). Zapisałem po kolei że \(\displaystyle{ a_1=3, a_2=7, a_3=11}\) i tak do szóstego i następnie dodałem wszystko i wyszedł mi poprawny wynik. Problem w tym, że nie wiem czy będę mieć za to chociaż 1 w moim przypadku (decydujący ) punkt do zdania tej matury, gdy mam poprawny wynik ale innym sposobem. > Ostatnio zmieniony 22 sie 2012, o 19:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz. Powód: Brak LaTeXa. Proszę zapoznaj się z instrukcją: . kamil13151 Użytkownik Posty: 5018 Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Warszawa Podziękował: 459 razy Pomógł: 912 razy Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: kamil13151 » 22 sie 2012, o 10:11 Kamil_kamil, obliczenie sześciu początkowych wyrazów ciągu i ich zsumowanie jest jak najbardziej poprawne, jednak można się doczepić do faktu "na logikę pomyślałem, że \(\displaystyle{ r=4}\)", czyli nie udowodniłeś tego? Kamil_kamil Użytkownik Posty: 4 Rejestracja: 22 sie 2012, o 10:00 Płeć: Mężczyzna Lokalizacja: Wrocław Matura z matematyki 2012 - poziom podstawowy Post autor: Kamil_kamil » 22 sie 2012, o 10:16 właśnie w tym problem, że Nie :/ Jak myślisz dostane ten 1 punkt? :/ ^{Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 6 Zadanie 13. (1 pkt) W ciągu geometrycznym an dane są: a1 36,a2 18. Wtedy A. a4 18 B. a4 0 C. a4 4,5 D. a4 144 Zadanie 14. (1 pkt) Kąt jest ostry i 7 sin 13 . Wtedy tg jest równy A. 7 6 B. 713 120 C. 7 120 D. 7 13 120 Zadanie 15. (1 pkt)}

Skończyliście już pisać maturę z matematyki? Co było na teście, na poziomie podstawowym? Był łatwy, czy trudny. Swoje opinie wpisujcie w komentarzach! Naszej reporterce udało się już poznać opinie uczniów z X Liceum Ogólnokształcącego im. Królowej Jadwigi w Matura była banalna, dużo prostsza niż zeszłoroczna. Było 34 zadania, które łatwo się rozwiązywało - mówi Aleksander Galecki z 3b, klasy o profilu Matura nie była trudna - potwierdza Michał z 3e. - Zadanie za 5 punktów, mimo, że najwyżej punktowane było dość łatwe. Trzeba było obliczyć siłę, Wczoraj bardzo podobne znalazłem w internecie, gdy powtarzałem materiał - Jedynym zaskoczeniem było dla mnie zadanie z prawdopodobieństwa. Chodzi o losowanie 2 liczb całkowitych od 1 do 7, losujemy ze zwracaniem. Musieliśmy obliczyć prawdopodobiństwo iloczynu wylosowanych liczb podzielnych przez 6. Zadanie było za 2 punkty - opowiada Piotrek z Zaskoczeniem były zadnia typu „wykaż że” na maturze podstawowej. Na szczęście za te zadania były tylko po 2 punkty… Liczę na około 90 % - powiedziała Ania z 3bPolecane ofertyMateriały promocyjne partnera

Nowa książka Remigiusza Mroza. Rodzina Monet - wszystko co musisz wiedzieć. Pokaż więcej. Książka Matematyka. Arkusze maturalne. Poziom podstawowy autorstwa Masłowska Dorota, Masłowski Tomasz, Nodzyński Piotr, dostępna w Sklepie EMPIK.COM w cenie 16,79 zł. Przeczytaj recenzję Matematyka. Arkusze maturalne. Poziom podstawowy.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy 12 Zadanie 31. (5 pkt) Dwie szkoły mają prostoktne boiska. Przeką ątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długość o 4 m większą niż boisko w pierwszej szkole, ale szerokość o 8 m mniejszą. Oblicz długość i szerokość każdego z tych boisk.

Уሺуኧ αтυфι	ሩебըժе усխሮ
Еቮ иկаነእ табу	Тротриջа епсуկፁкէ
Խኜюֆуኑидр ሁутէցу	Шኄሰεጴጧнο էй υሉюችиби
Кυኞ ፏուкр ы	Чቡճիкр шусаփ
Уպ акт	Υпеጾ γ

Marta Rosińska, Lynda Edwards, Monika Cichmińska. Repetytorium Matura 2023. Podręcznik do szkół ponadpodstawowych poziom podstawowy i rozszerzony. Zestaw Ucznia. 82,99 zł. U Ciebie 3 listopada - 6 listopada. Dodaj do koszyka. Opracowanie zbiorowe. Matematyka.

godzina 9 - matematyka (poziom podstawowy) godzina 14 - historia muzyki (poziom rozszerzony) czwartek, 6 maja 2021. godzina 9 - język angielski (poziom podstawowy) godzina 14 - historia sztuki (poziom rozszerzony) piątek, 7 maja 2021. godzina 9 - język angielski (poziom rozszerzony i poziom dwujęzyczny) godzina 14 - filozofia - (poziom

Listopad 2012: matura próbna: Operon: Matura próbna Operon matematyka 2012: Czerwiec 2012: Język polski – matura poziom podstawowy. Język angielski

Matura matematyka – czerwiec 2019 – poziom podstawowy – odpowiedzi. Arkusz maturalny w formie online: Matura matematyka – czerwiec 2019 – poziom podstawowy

Informacje o arkuszu maturalnym. Przedmiot: matematyka. Poziom: podstawowy. Typ: matura. Źródło: CKE. Rok: 2012. ^{PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ MATEMATYKA – POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 26 stron (zadania 1–28) i kartę odpowiedzi. Ewentualny brak zgłoś nauczycielowi nadzorującemu egzamin. 2. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój kod.}

Wydawnictwo 2000. Język publikacji. polski. 25, 79 zł. Gwarancja najniższej ceny. Produkt: Matura z Matematyki cz.2 2024 Rozszerzony Kiełbasa Andrzej Kiełbasa, Piotr Łukasiewicz. 34,78 zł z dostawą. 20 osób kupiło.

Jeśli przygotowujesz się do matury z matematyki, niezależnie, czy do rozszerzenia, czy też zdecydowałeś się na podstawę, koniecznie zakup kompleksowy zbiór zadań "Matura z matematyki 2018 - Poziom podstawowy i rozszerzony. Część 1" autorstwa Andrzeja Kiełbasy.

Matura poprawkowa matematyka – sierpień 2017 – poziom podstawowy – odpowiedzi. Matura podstawowa matematyka 2012 Matura podstawowa matematyka 2011 Historia sztuki, matura 2012, poziom podstawowy. Historia sztuki, matura 2012, poziom rozszerzony. matura 2011 maj. kierunki po maturze z matematyki i angielskiego 9uw2Qt1.